정규분포 기준, 두 분산의 비율을 검정하기 위한 분포는 F분포입니다. F분포(F-distribution)는 서로 독립인 두 카이제곱분포 변수를 각각의 자유도로 나눈 비율로 정의되는 연속확률분포입니다. 따라서 분자의 자유도($\nu_1$)와 분모의 자유도($\nu_2$)라는 두 가지 모수에 의해 분포의 모양이 결정됩니다.이 분포는 주로 두 모집단의 분산을 비교할 때 사용됩니다.
정규분포를 따르는 두 집단에서 추출한 표본분산의 비율로 유도되는데, 만약 두 집단의 모분산이 같다는 등분산 가정이 성립하면, 복잡한 모분산 항이 소거되어 단순히 두 표본분산의 비($S_1^2 / S_2^2$)만으로 F값을 구할 수 있습니다.F분포는 확률변수가 음수를 가질 수 없어 항상 양의 값만 가지며, 왼쪽으로 치우치고 오른쪽으로 긴 꼬리가 늘어진 비대칭 형태를 띱니다. 그러나 분자와 분모의 자유도가 커질수록 점차 정규분포에 가까워지는 성질이 있습니다. 아울러 분모와 분자의 자유도가 서로 바뀌면 역수 관계($F_{1-\alpha; k, m} = 1 / F_{\alpha; m, k}$)가 성립하는 독특한 대칭성을 가집니다.
다른 분포와의 관계를 살펴보면, 자유도가 $\nu$인 $t$분포를 제곱하면 자유도가 $(1, \nu)$인 F분포가 되는 특징이 있습니다. 이러한 F분포는 두 모분산의 비교·검정뿐만 아니라, 실험 계획법에서의 분산분석(ANOVA) 및 상관회귀분석 등 통계적 가설검정(F-test)에 광범위하게 활용됩니다.
$F$분포($F$-distribution )는 연속확률분포(continuous probability distribution)이며 독립적인 두 카이제곱분포에 관한 비로써 정의됩니다. $F$분포는 두 모수를 가지는데 분자에 해당하는 카이제곱분포의 자유도와 분모에 해당하는 카이제곱분포의 자유도입니다.
두 확률변수 $V$와 $U$가 서로 독립이고 각각 자유도 $k$와 $m$인 카이제곱분포를 따르면 새로운 확률변수, $F$는 자유도가 $k$, $m$인 F분포를 따릅니다.
$$F=\dfrac{\dfrac{V}{k}}{\dfrac{U}{m}} \sim F_{k,m}$$
여기서, 확률변수, $V$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포를 나타냄 : $V \sim \chi_{k}^2$
확률변수, $U$는 자유도가 $m$인 카이제곱분포를 나타냄 : $U \sim \chi_{m}^2$
확률변수, $V$와 $U$는 독립 : $V \perp U$
카이제곱분포를 나타내는 두 확률변수, $U_1∼\chi_{v_1}^2$, $U_2∼\chi_{v_2}^2$가 있고 $U_1$과 $U_2$가 독립일 때 $F$분포를 다음과 같이 정의합니다.
$$F=\dfrac{\dfrac{U_1}{v_1}}{\dfrac{U_2}{v_2}}∼ F_{v_1,\ v_2}$$
여기서, $v_1$은 $U_1$의 자유도
$v_2$는 $U_2$의 자유도
모평균이 $\mu_1$이고 분산이 $\sigma_1^2$인 모집단에서 표본크기가 $n_1$인 표본을 추출하였을 때의 표본분산을 $S_1^2$라 하고 자유도 $k$인 카이제곱분포를 따르는 확률변수 $V$를 정의하면
$$V=\dfrac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi_{n_1-1}^2$$
모평균이 $\mu_2$이고 분산이 $\sigma_2^2$인 모집단에서 표본크기가 $n_2$인 표본을 추출하였을 때의 표본분산을 $S_2^2$라 하고 자유도 $m$인 카이제곱분포를 따르는 확률변수 $U$를 정의하면
$$U=\dfrac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi_{n_1-1}^2$$
카이제곱분포를 따르는 두 확률변수 $U$와 $V$가 서로 독립이면 새로운 확률변수 $F$는 다음과 같습니다.
$$F=\dfrac{\dfrac{V}{k}}{\dfrac{U}{m}}=\dfrac{\dfrac{\dfrac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2}}{(n_1-1)}}{\dfrac{\dfrac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}}{(n_2-1)}}=\dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{n_1-1,n_2-1}$$
정규분포를 이루고 분산($\sigma^2$)이 같은 두 집단으로부터 크기 $n_1$과 크기 $n_2$의 표본을 추출합니다. 이때 추출한 표본분산($S_1^2$, $S_2^2$)을 모분산으로 나눈 두 값의 비를 새로운 확률변수, $F$라 합니다. 표본추출을 무작위로 반복적으로 하면 연속형 확률변수, $F$의 확률밀도함수는 $F$분포를 나타냅니다. $F$분포의 분자의 자유도는 $(n_1-1)$이고 분모의 자유도는 $(n_2-1)$입니다.
$$F=\dfrac{\left(\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}\right)}{\left(\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}\right)}=\dfrac{S_1^2}{S_2^2}$$
여기서, 두 집단은 정규분포를 나타내고 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$로 가정
확률변수인 $F$를 살펴보면, 분자와 분모의 자유도에 따라 달라지는 $F$확률분포를 가집니다.
$$F_{v_1,\ v_2}=\dfrac{\dfrac{\chi_{v_1}^2}{v_1}}{\dfrac{\chi_{v_2}^2}{v_2}}$$
여기서, $v_1$, $v_2$은 F분포의 모수인 분자의 자유도와 분모의 자유도
$\chi_{v_1}^2$, $\chi_{v_2}^2$는 모수로 $v_1$과 $v_2$를 가지는 두 카이제곱분포($\chi^2$)
위식을 확률변수인 두 표본분산에 적용하여 $F$로 변환하면 다음과 같습니다.
$$F_{n_1-1,\ n_2-1}=\dfrac{\dfrac{\chi_{n_1-1}^2}{n_1-1}}{\dfrac{\chi_{n_2-1}^2}{n_2-1}}=\dfrac{\dfrac{\left({\left({n_1-1}\right)\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}\right)}{(n_1-1)}}{\dfrac{\left({\left({n_2-1}\right)\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}}\right)}{(n_2-1)}}=\dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}}=\dfrac{S_1^2}{S_2^2}$$
여기서, $n_1$, $n_2$는 두 표본의 크기
$(n_1-1)$, $(n_2-1)$은 두 표본의 자유도
$S_1^2$, $S_2^2$는 두 표본분산
$\sigma_1^2$, $\sigma_2^2$는 두 모분산이고 등분산
– $n_1 \neq n_2$일 때, $F_{n_1-1,n_2-1}$과 $F_{n_2-1,n_1-1}$은 서로 다른 확률분포입니다.
$$F_{1-\alpha \, ; \, k,m}=\dfrac{1}{F_{\alpha \, ; \, m,k}}$$
– 항상 양의 값을 가지며, 비대칭(오른쪽으로 긴 꼬리)적인 분포모양을 가집니다. 단일 분포가 아닌 모수인 분자의 자유도와 분모의 자유도에 따라 분포의 모양이 변하는 데, 분자의 자유도와 분모의 자유도가 커질 수록 정규분포에 가까워집니다.
– 분모와 분자의 자유도가 서로 바뀌어 있는 두 $F$분포에 대하여 다음식이 성립합니다.
$$F_{v_1,\ v_2,\ \alpha}=\dfrac{1}{F_{v_2, \ v_1 \ ;\ 1-\alpha}}$$
$t$분포를 제곱하면 분자와 분모의 자유도가 각각 1, $v$인 $F$분포가 됩니다.
$$t=\dfrac{Z}{\sqrt{U/v}}\sim t_v$$
$$t_v^2=\dfrac{Z^2/1}{U/v}∼F_{1, \ v}$$
$F$분포로 하는 검정(test)을 $F$검정($F$-test)이라고 합니다. $F$검정은 두 모분산의 비교, 추정 및 검정 그리고 분산분석 및 상관회귀분석에 사용됩니다.
$F_{v_1,\ v_2,\ ;\ \alpha}$는 $X\sim F_{v_1,\ v_2}$에 대하여 $P[X\geq a]=\alpha$가 되도록 하는 $a$의 값입니다.
확률이론에서, 실험이나 시행은 무한히 반복되어 행해 질 수 있고 표본공간으로 알려진 가능한 모든 결과의 집합을 얻는 과정을 말합니다. 실험은 하나 이상의 결과가 있을 경우는 “무작위”로, 하나만 있는 경우는 “결정적”으로 표현합니다. 예를 들면, 2 가지(결과는 상호 배타적) 가능한 결과를 갖는 무작위 실험은 베르누이 시험이 있습니다.
실험이 수행 될 때, 시행의 결과는 보통 하나로 나타납니다. 그 결과는 모든 사건에 포함됩니다. 이 모든 사건은 시행에서 발생했다고 말합니다. 같은 실험을 여러 번 수행하고 결과를 모으고 나면 실험자는 실험에서 발생할 수 있는 다양한 결과 및 사건의 경험적 확률을 평가하고 통계분석방법을 적용할 수 있습니다.
출처
확률은 사건이 일어날 가능성을 정량화하는 척도입니다. 확률은 0에서 1 사이의 숫자로 정량화됩니다. 여기서, 0은 불가능함을 나타내며 1은 확실함을 나타냅니다. 시행(event)의 확률이 높을수록 시행이 발생할 가능성이 큽니다. 간단한 예가 동전 던지기입니다. 동전 던지기는 결과가 명확하게 두 가지 결과인 “앞면(Head)”와 “뒷면(Tale)”으로 나타납니다. 그리고 쉽게 앞면과 뒷면의 확률은 동일하다고 동의가 이루어집니다. 다른 결과가 없기 때문에 “앞면”또는 뒷면”의 확률은 1/2 (0.5 또는 50 %)입니다.
이러한 확률개념은 수학, 통계, 금융, 도박, 과학 (특히 물리학), 인공지능, 기계 학습, 컴퓨터 과학, 게임 이론 등과 같은 분야에 공리적 수학적 형식화를 제공합니다. 빈도에 관한 추정을 이끌어내거나 복잡한 시스템의 기본 역학 및 규칙성을 기술하는 데에도 사용됩니다.
출처
확률이론 및 통계에서 확률분포는 실험에서 가능하고 서로 다른 모든 결과의 출현 확률을 제공하는 수학적 기능입니다. 보다 기술적인 측면에서, 확률분포는 사건의 확률의 관점에서 임의의 현상에 대한 기술입다. 예를 들어, 확률 변수 $X$가 동전 던지기( “실험”) 결과를 나타내는 데 사용되면 $X$의 확률 분포는 $X$ = 앞면의 경우 0.5, $X$ = 뒷면의 경우 0.5를 취합니다( 동전은 공정). 임의의 현상의 예에는 실험이나 조사의 결과가 포함될 수 있습니다.
확률분포는 관찰되는 임의의 현상의 모든 가능한 결과 집합인 기본 표본공간(sample space)의 관점에서 지정됩니다. 표본공간은 실수 집합 또는 벡터 집합일 수도 있고 비 숫자 값 목록일 수도 있습니다. 예를 들어, 동전 뒤집기의 샘플 공간은 {앞면(Head), 뒷면(Tail)}입니다. 확률 분포는 일반적으로 두 가지로 나뉩니다. 이산 확률분포 (동전 던지기 나 주사위와 같이 가능한 결과 집합이 불연속인 시나리오에 적용 가능)는 확률질량함수라고하는 결과의 확률에 대한 개별 목록으로 표시할 수 있습니다. 반면, 연속확률분포 (주어진 날의 온도와 같이 연속적인 범위 (예 : 실수)의 값을 취할 수 있는 시나리오에 적용 가능)는 일반적으로 확률 밀도함수 (임의의 개별 결과가 실제로는 0인 확률)로 표현할 수 있습니다. 정규 분포는 일반적으로 자주 나타나는 연속확률분포입니다. 지속적인 시간에 정의 된 확률론적 과정과 관련된 복잡한 실험은 더 일반적인 확률측정법의 사용을 요구할 수 있습니다.
표본공간이 1차원인 확률분포 (예 : 실수, 레이블 목록, 정렬된 레이블 또는 이진수)는 단 변수이라고 불리우는 반면 표본공간이 2차원 이상의 벡터 공간 인 분포를 다 변수라고합니다. 단일 변수(변량) 분포는 다양한 대체 값을 취하는 단일 확률변수의 확률을 제공합니다. 다 변수 분포 (합동확률분포)는 다양한 값의 조합을 취하는 임의의 벡터 (두 개 이상의 임의변수를 원소로 가짐)의 확률을 제공합니다. 중요하고 공통적으로 발생하는 단 변량 확률분포에는 이항분포, 초기 하분포 및 정규분포가 포함됩니다. 다 변수 정규 분포는 일반적으로 발생하는 다 변수 분포입니다.
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수학에서 변수는 연속이거나 이산일 수 있습니다. 두 개의 특정 실제 값 (예 : 임의의 가까운 값) 사이의 모든 실제 값을 취할 수 있는 경우 변수는 해당 간격에서 연속입니다. 변수가 가질 수 있는 값을 포함하지 않는 극한의 간격이 양측에 존재하는 값을 취할 수 있다면, 그 변수값을 중심으로 변수는 분리되고 그 변수는 이산형 변수입니다. 일부 상황에서는 변수가 선상의 일부 범위에서 이산이고 다른 변수에서는 연속일 수 있습니다.
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확률이론 및 통계에서 임의의 양, 임의의 변수, 즉 확률변수는 비공식적으로 값이 임의의 현상의 결과에 의존하는 변수로 설명됩니다. 확률변수에 대한 공식적인 수학적 설명은 확률이론의 주제입니다. 그 맥락에서, 확률변수는 결과가 일반적으로 실수인 확률공간에서 정의된 측정 가능한 함수로 이해할 수 있습니다.
확률변수의 가능한 값은 아직 수행되지 않은 실험의 가능한 결과 또는 이미 존재하는 값 불확실한 과거 실험의 가능한 결과인 경우를 나타내는 이미 존재하는 값으로 나타낼 수 있습니다 (예 : 부정확한 측정 또는 양자 불확실성으로 인해). 그들은 또한 개념적으로 “객관적”무작위 과정의 결과 또는 양에 대한 불완전한 지식으로 인한 “주관적인”무작위성”을 나타낼 수 있습니다. 확률변수의 잠재 가치에 할당된 확률의 의미는 확률 이론 자체의 일부가 아니며 확률의 해석에 대한 철학적 주장과 관련이 있습니다. 수학은 사용되는 특정 해석과 상관없이 동일하게 작동합니다.
함수로서 확률변수는 측정 가능해야 하며 확률은 잠재가치 집합으로 표현할 수 있습니다. 결과는 예측할 수 없는 몇 가지 물리적 변수에 달려 있을 수 있습니다. 예를 들어, 공정한 동전 던지기의 경우, 앞면 또는 뒷면의 최종 결과는 불확실한 동전의 물리적 조건에 달려 있습니다. 관찰되는 결과는 확실하지 않습니다. 동전의 표면에 균열이 생길 수 있지만 이러한 가능성은 고려 대상에서 제외됩니다.
확률변수의 존재 지역은 표본공간이며 임의의 현상의 가능한 결과의 집합으로 해석됩니다. 예를 들어, 동전 던지기의 경우 두 가지 가능한 결과, 즉 앞면 또는 뒷면이 그러합니다.
확률변수는 확률분포를 가지며, 확률분포는 확률변수의 확률값을 지정합니다. 무작위 변수는 이산형일 수 있습니다. 즉, 임의의 변수의 확률분포의 확률 질량함수 특성이 부여된 유한한 값 또는 계산 가능한 값에서 하나를 취합니다. 또는 임의의 변수의 확률분포의 특징 인 확률밀도함수를 통해 간격 또는 연속된간격에서 임의의 수치 값을 취하는 연속 또는 두 유형의 혼합물 일 수 있습니다.
동일한 확률분포를 갖는 두 개의 확률 변수는 다른 확률 변수와의 관련성 또는 독립성 측면에서 다를 수 있습니다. 무작위 변수의 실현, 즉 변수의 확률분포 함수에 따라 무작위로 값을 선택한 결과를 무작위 변수라고 합니다.
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