도함수는 $\dfrac{1}{x}$이고 그 적분의 기준점은 $x=1$입니다.
자연로그 $\ln{x}$의 도함수는 변화율, 즉 기울기를 나타냅니다. 도함수 $\dfrac{1}{x}$은 $x>0$에서 정의됩니다.
$$\dfrac{d}{dx} \ln x = \dfrac{1}{x}$$
도함수 $\dfrac{1}{x}$의 적분 기준점 (reference point for the integral)은 1입니다.
$$\ln x = \int_1^x \dfrac{1}{t} \, dt$$
이 기준점은 다음 조건을 만족시킵니다.
$$\ln 1 = \int_1^1 \frac{1}{t} \, dt = 0$$
즉, 기준점 1은 로그함수의 출발점이자, 면적 누적의 기준이 되는 값입니다.
자연로그 함수를 도함수의 적분으로 표현할 때 $$\ln{x}=\int_1^x \dfrac{1}{t}\, dt$$
기준점 $x=1$은 다음과 같이 해석할 수 있습니다.
Fig.1 자연로그와 도함수 그리고 적분 기준점
함수의 상대변화율은 어떤 값에서의 함수의 변화량을 그 자체의 함수값으로 나눈 것입니다.
$$\text{상대변화율}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$$
$x$의 상대변화율 $\dfrac{1}{x}$을 기준점 $x=1$부터 누적했을 때, 누적 변화량이 정확히 1이 되는 지점이 자연상수 $e$입니다.
\[
\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = 1 \quad \Rightarrow \quad \ln e = 1
\]
누적 변화량이 단위 면적 1이 되도록 할 때, 그 면적을 만드는 상한값이 바로 자연상수 $e$입니다. 즉, $e$는 상대 변화율 $\dfrac{1}{x}$를 적분했을 때 기준점 $x=1$에서 출발하여 변화량 1을 가지는 지점입니다.
Fig.2 x의 상대변화율 $\dfrac{1}{x}$을 1부터 자연로그 e까지의 적분