네, 카이($\chi$)입니다.
거리공식에서 카이제곱($\chi^2$)이 나타납니다.
$$\chi^2=X_1^2 + X_2^2+ \cdots $$
카이와 카이제곱은 확률변수이며, 카이분포와 카이제곱분포라는 확률분포를 가집니다.
확률공간은 모든 가능한 시행의 결과인 표본공간, 표본공간의 부분집합을 원소로하는 사건공간, 사건에 확률을 부여하는 확률측도로 구성됩니다.
$$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$
여기서, $\Omega$는 표본공간 : 모든 시행의 결과
$\mathcal{F}$는 사건공간 : 모든 가능한 사건들의 집합
$P$는 확률측도
확률공간$(\Omega, \mathcal{F}, P)$에서, 각 사건(event)이 모든 시행의 결과로 구성되고, 모든 사건은 실수값으로 표현된다고 하면 이 확률공간 위에 다음과 같이 k차원 확률변수벡터를 정의할 수 있습니다.
$$\mathbf{X}=(X_1, X_2, \cdots, X_k)$$
확률변수벡터의 각 성분이 표준정규분포를 가지는 확률변수이고 독립되어 있으면, 다변량표준정규분포를 가진다고 하며 다음식으로 표현됩니다.
$$X_i \sim N(0,1), \quad i = 1, \ldots, k$$
벡터와 행렬로 표현하면
$$\mathbf{X} \sim N_k(\mathbf{0}, \mathbf{I}_k)$$
세 개의 실수값 원소로 구성된 표본공간은 이는 3차원실수공간 $\mathbb{R}^3$로 표현됩니다. 즉, “표본공간”은 실제 좌표공간 $\mathbb{R}^3$이고, 그 위에 “확률밀도”가 정의되어 있습니다.
$$f_{\mathbf{X}}(x_1, x_2, x_3) = (2\pi)^{-3/2} e^{-\tfrac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)}$$
Table 1. 3차원 표본공간
| 구성요소 | 의미 | 차원 |
|---|---|---|
| \( X_1, X_2, X_3 \) | 독립 표준정규확률변수 | — |
| \( (X_1, X_2, X_3) \) | 표본점 (sample point) | 3차원 공간 상의 한 점 |
| \( \mathbf{X} \) 의 모든 가능한 값 | 표본공간 | \( \mathbb{R}^3 \) |
| \( \mathbf{X} \) 의 분포 | 다변량 표준정규 확률공간 | — |
Figure 1.의 3D 그래프는 자유도 $k = 3$ 인 다변량 표준정규분포 확률공간을 시각화한 것입니다.
즉, 이 확률공간에서 원점에서 표본점까지의 거리 $R = \sqrt{X_1^2 + X_2^2 + X_3^2}$는 $R \sim \chi(3)$을 따르며, 이 구면($\chi$의 모드 위치)을 중심으로 확률밀도가 가장 높습니다.
이 분포를 “카이분포”라고 합니다.
Figure 1. 3차원 표본공간과 다변량표준정규분포 확률공간
Figure 1. 카이제곱분포와 카이분포